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善于继承敢于创新勇于服务国家与人民
————纪念中世纪数学泰斗秦九韶诞辰 810 周年
发布时间:2019-08-30 信息来源:安岳县网管中心 阅读次数: 【字体: 打印本页】【关闭窗口
 

杨国选[1]

  秦九韶,中国传统数学的最后一个高峰——宋元数学高潮的主要代表人物 之一。中世纪数学泰斗、天文、历法、气象学家与诗人。

  秦九韶在中国传统数学领域,是一位善于继承,敢于创新,勇于把研究的数学成果服务于国家、服务于社会,服务于人民的数学大师,他所创立的伟大成就,不仅标志中国古代数学之顶峰,代表了世界数学发展的主流与最高水平,对世界数学的发展做出了卓越贡献[2];在南宋朝廷职官序列中,是 一位关心国计民生,体察民间疾苦, 主张施行仁政,强烈反对和严厉打击商贾囤积居奇、官吏豪强,横征暴敛,支持抗金、抗蒙战争的正直官吏[3]

  秦九韶(1208~1268年),字道古。嘉定元年三月出生普州(今四川安岳)天庆观街“秦苑斋”的书香门第、仕宦之家[4]。秦九韶,天资聪颖,性极机巧,童年师从汝佾[5]。汝佾,乾道五年(1169)进士及第,博学多能,精通历法、算学。“早岁侍亲中都,因得访习於太史,又尝从隐君子受数学[6]”。秦季槱在秘书省、工部、国史院、日历所中的同事,乔行简、魏了翁、真德秀、许奕及太史令等给秦九韶在临安学习提供了优越环境,让他广交名流,虔心请教,博览群书,注重实践,“星象、音律、算术,以至营造等事,无不精究”,“ 迩尝从李梅亭[7]学习骈俪、诗词、游戏、球马、弓剑,莫不能知[8]”。秦九韶在早年临安期间,已经成长为才华横溢,知识渊博的青年学者。

  宝庆元年(1225)六月,秦季槱除直显谟阁知潼川府军州事。秦九韶隨父秦季槱潼川守郡[9],除郪县义兵首,擢升县尉[10]。绍定五年八月,秦九韶与状元徐元杰同榜进士及第[11]。端平元年(1234)冬,赴临安任国史院校正[12],由此一 来,秦九韶一生在四川边陲要塞度过了22 年,从此,再没有回过家乡四川。

  端平三年(1236)春正月,京官秦九韶出使蕲州通判,越年,擢升和州军州事。嘉熙二年(1238)六月,辞和州守,临安丁父忧[13]。淳祐四年(1244)秋八月,秦九韶以通直郎除建康(今南京)通判[14],冬十月辞官通判,回湖州丁母忧。至此,秦九韶相继在淮南西路、两浙路和广南东路、广南西路,职位起落,更替频繁,屏之远郡。

  淳祐七年,秦九韶在丁母忧期间所著《数书九章》[15] 成书。越年,宋理宗诏谕秦九韶,直面奏对算理极为深奥的数学、天文、历法见解,“以历学荐于朝,得对,有奏稿及所著《数学大略》[16] “。

  开庆元年(1259年)春正月,北兵至临江军,夏末,守臣陈元桂战死,州军无首,战事危岌[17]。景定元年(1260)春正月,宋理宗诏谕秦九韶知临江军[18],二月,南宋奸臣、右丞相贾似道[19]的门人刘克庄上奏状弹劾落职,赋闲湖州。景定二年(1261)秋七月,秦九韶知梅州(今广东梅州)军州事[20]。咸淳戊辰(1268 年)春三月卒于梅州[21]

  著名数学史家郭书春说:“秦九韶不仅在数学领域是一位具有实事求是的 科学精神与创新精神,既重视理论又重视实践;既善于继承又勇于创新,把数 学作为实现服务国家、服务社会,服务于人民的有力工具的伟大数学家,还是 一位关心国计民生,体察民间疾苦, 主张施行仁政,强烈反对和主张严厉打 击大商贾囤积居奇、政府官吏、豪强的横征暴敛,支持抗金、抗蒙战争的正直 官吏[22]。”

  今年,正逢秦九韶诞辰 810 周年,我们在此纪念秦九韶、学习他在数学领 域善于继承,敢于创新,勇于服务于国家与人民的精神,正是与践行习近平总 书记在视察中科院的座谈会上,倡导“广大科技人员要牢固树立创新科技、服 务国家、造福人民的思想,把科技成果应用在实现国家现代化的伟大事业中, 把人生理想融入为实现中华民族伟大复兴的中国梦的奋斗中[23]”的殷切希望一 脉相承,无疑具有深远的历史与现时意义。

秦九韶在中世纪数学领域的卓越成就

  秦九韶所著《数书九章》,是一部堪与《九章算术》相媲美的世界数学名著。如果说《九章算术》标志着中国古代数学理论的形成,那么《数书九章》则标志着中国古代数学之顶峰,世界数学发展的主流与最高水平。秦九韶在数 学领域的主要成就和杰出贡献就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法,创立了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”,亦代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平,比西方的同类成果分别早 572 年、496 年[24]

  中科院院士、著名数学家吴文俊说:秦九韶在数学上的主要成就和杰出贡 献就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法,创立了相当 完备的“正负开方术”和“大衍求一术”,亦代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平[25]

  秦九韶的数学领先成就,还有其它诸多方面。如在代数学方面,改进了线 性方程组的解法,普遍应用互乘相消法代替传统的直除法;在几何学方面,提出已知三角形三边之长求其面积的等价于海伦公式的“三斜求积术”,以及天 时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市物、天文、历法、气象、南宋 时期户口增长、耕地扩展、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等社会经济领域和军事活动中的数学问题的研究[26]

  秦九韶的哲学思想和数学思想,显然与宋代儒学中的道学学派一致。他明确指出“数与道非二本也”,再加上数学实践的切身体会,使他对于数学的重要性产生了较为清楚的认识。秦九韶高度评价数学的作用,反对轻贱数学的世俗看法。他说,数学研究“大则可以通神明,顺性命;小则可以经世务,类万物,讵容以浅近窥哉!” 秦九韶将数学的应用概括为大、小两个方面,实际上继承了中国传统数学思想关于数学的作用的论述。然而,秦九韶通过自己的数学研究实践,认识到“所谓通神明,顺性命,固肤末于见”,而将自己的才智专注于“经世务,类万物”的“小者”上,十分重视和注意搜求天文历法、生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题的研究[27],“设为问答,以拟于用”,尽力满足社会实践的需要,并告诫人们要学好数学,精于计算,以避免由于计算错误而引起的“财蠹力伤”等等不良后果。古今中外,许多人为文做事,尤其是在“神明”、“性命”这类问题上,常常不懂装懂,自欺欺人。秦九韶与此相反,坦诚地承认自己对“大者”的体会十分肤浅。在中国古代大数学家中,只有秦九韶在对数学的作用的认识上如此坦率,反映了他具有不慕虚荣、实事求是,“知之为知之,不知为不知”的科学精神[28]

  秦九韶在中世纪数学领域所创立的伟大成就和对世界数学发展的卓越贡献,从此奠定了他在中外数学史上的崇高地位。

  秦九韶不仅是我国唯一受到皇帝诏谕,直面奏对算理极其深奥的天文、历法、气象的见解,将“崇天历”、“纪元历”献于朝廷的世界著名的天文、历法、气象学家[29],秦九韶还是一位诗人。

  《数书九章·序》的前半部分是“文”,后半部分是“骈文诗”。无论是前半部分“文”,还是后半部分的“骈文诗”,不仅能品味出作者的出众文采,还能感知其深邃的哲理,可谓杰作。特别是后半部分的“骈文诗”,用典贴切,韵律严谨,生动诠释换阐述了作者的数学科学思想,堪称科学思想与文学创作的绝妙结合。这也佐证了秦九韶早年侍亲中都,拜四六名家李梅亭为师,虚心向他学习,奠定了坚实的诗词创作功底,昭示了秦九韶作为诗人的文学素质和创作水平[30]

  我国古代数学家中,秦九韶又是唯一受到西方科学史界尊称为“世界科学史之父”的美国著名科学史家乔治•萨顿(G·Sarton,1884~1956)赞誉:(秦九韶)是“他那个民族,他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一[31]。”

数学研究成果服务于社会,服务于国家,服务于人民

  宝庆元年(1225 年),秦季槱以直显谟阁知潼川府军州事,秦九韶随父 潼川府。在郪县担任义兵首、县尉。 潼川府路,所辖诸州、县域,地处崇山峻岭,沟壑纵横,地势险峻的山区 与深丘,可谓南宋边陲要塞,气象变幻莫测。宝庆始,北面要塞,无论是宋蒙 联合抗金,还是后来的宋蒙之战,都是南宋抗御外来入侵的血雨腥风主战场之 一。南面边陲,泸州长江以南滇黔两千里边面,少数民族地区羁縻州,也是外 侵内乱的殃及之地。民间百姓,又几乎都是以农业为生。因而,天文、历法、 气候、雨雪,预报的准确,直接关系到农业的丰欠,民生存亡。对于抵御外来入侵,平抑蛮夷的内乱动荡,戍边屯兵,行军打仗,至关重要,关系战争成败。秦九韶参加高稼提出以沔州为主战场,“蜀以三关为门户,五州为藩篱” 的反击元兵边面保卫战,应魏了翁派遣参加收复蛮夷盘踞泸州两千里边面,在潼川府的社会实践中,就开始运用数学广泛研究天文、历法,观测气象,探寻 科学计算降雨量和降雪量的正确方法。秦九韶发现南宋朝廷推行的测算雨量、 雪量的方法是错误的,“积以器移”,是令人啼笑皆非的怪现象,他严厉批评这种采取同一次降雨或降雪,用不同的量雨器、量雪器,所测得出的计算结果,实际是一个不准确,或者说是错误的数据,发挥不了应有的作用,直接影 响农业生产的丰欠与军事行动的成败[32]。同时,秦九韶推出自己运用数学研究成 功的“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”等科学计算降雨量和降雪量的方法。实践证明,秦九韶推出的科学计算方法,获得计算雨 雪量、气象预报等数据,是准确的。尤其是秦九韶发明的雨量器、雪量器,才是科学测试计算雨雪的工具。数年之后,宋理宗诏谕秦九韶觐见,直面奏对算 理极其深奥的天文、历法、气象的见解。其研究发明的天池测雨、圆罂测雨、 峻积验雪、竹器验雪等降水量测量和计算问题,其理论和计算是科学而严密的。由此,秦九韶不仅成为我国古代唯一与皇帝直面奏对的伟大数学家、天文、气象、历法学家。而且,宋理宗还颁布诏令,在南宋州郡使用秦九韶发明的“天池盆”、“圆罂”、“竹蘿”等雨量器、雪量器,观测和计算雨雪量。 秦九韶发明“天池盆”是世界文化史上现存最早记录的雨量器、雪量器。 而歐洲直到明崇祯己卯(1639)年间末,才有卡士戴里(B. Castelli)首創雨量計的使用,比中国要晚近 400 年[33]”。秦九韶用"平地得雨之数"量度雨水, 又是世界最早为雨量测定而奠定的基础科学理论的科学家[34]。2010年3月28日,南京 “中国北极阁气象博物馆”正式开馆,不仅浓墨重彩介绍秦九韶在天文、历法、农事、气象等方面做出的卓越贡献,还在馆内雕塑了高大的秦九韶像。

  绍定二年,成都府路、潼川府路大旱,秦九韶在郪县担任县尉,设计建造的郪县核桃坝石堰,虽然已被现代郪江拦河大坝淹没,但遗址至今尚存水底。二十年之后,秦九韶《数书九章》中“计造石坝”计题,记载了当年建造核桃坝石堰的堰堤通长、阔底、面阔丈长;石板片长、片阔、片厚等数据[35]。 它山堰,是我国现存的四大古代著名水利工程(都江堰、它山堰、郑国渠、灵渠)之一,唐太和四年(830 年),鄮县(鄞县)县令王元玮主持始建,位于鄞县(今宁波市)。七百多年之后的宝祐年间(1253~1258),吴潜除沿海制置大使兼知庆元府,邀秦九韶参与了它山堰“御咸蓄淡饮水灌溉枢纽水系工程”的设计建造。吴潜和秦九韶对它山堰水系工程进行了周密考察,决定在它山堰上游修建回沙闸,以解决上游四明山水土流失堵塞它山堰坝体,影响淡水储蓄。在城中平桥南端设立水则减 少海水倒灌,影响市民饮水,农田灌溉。《中国科学技术史·水利卷》,在记叙吴潜心系民计民生的同时,也留下了他与秦九韶交往的鲜为人知的史实:“吴潜与同时代的数学家秦九韶过从甚密,在它山堰‘御咸蓄淡饮水灌溉枢纽 水系工程’的考察测量、精确计算、精心修缮等方面,得到了秦九韶的鼎力帮助[36]”。

  绍定年间,秦九韶在“漂田推积”题型的研究,就是在郪县运用于民间的 边界争议实践中升华的结晶,也是秦九韶将数学研究成果普及民众,让民众很好运用的典型。《秦县尉巧断农夫边界的故事》[37]就是一个很好的佐证。

关心国计民生,体察民间疾苦,主张施行仁政的正直官吏

  秦九韶不仅是中世纪数学泰斗,还是一位关心国计民生,体察民间疾苦, 主张施行仁政正直官吏。

  秦九韶在潼川府担任郪县县尉期间,特别关心生民生,时常深入潼川府路 郪县和涪城县社会考察,他发现南宋租金过高,官民承载不均,或因天灾的原因,老百姓拖欠官府租税太多等问题,他主张合理赋税与徭役。提出“邦国之 赋,以待百事。畡田经入,取之有度”的构想。向朝廷大声疾呼:国家规定征收的赋税应该取之有度,合理赋税与徭役,州郡将宽大体恤困难的纳税户,实行减租免税,施行仁政。秦九韶提出“宽减屯租”的构想和实施方案,明确指 出“原定屯田纳租政策:官种一石,纳租五石。私种一石,纳租三石。显然租税太高,必须施行减租的政策:官牛种者,与减二分,私牛种者,与减四分[38]。”

  秦九韶还在“户田均宽”中指出:州郡宽恤,近将县下三等税户秋科余欠钱米,已与蠲放。”即州郡为宽大体恤困难的纳税户,将县下三等税户中秋征赋税前米的欠纳部分给予减免。在明年的钱米两税中,也同样按照这个规定减免。

  许奕知潼川府之后,秦九韶积极参与许奕进行涉农税负改革,尤其是对各类土地税赋改革方案的谋划和测算。

  首先是政府统一规划开垦沙田坡地、沟塘,河畔、湖泊淤泥地,鼓励农民开垦,三年不征税,十年内少征税。二是清丈域区所有土地,特别是严查官僚、豪强、地主的隐田隐地,税负须与百姓同等相待,重新定核定。做到:纠正无租之地,按土壤色泽、厚薄和肥瘠程度划分为五个等级,最后按等级确定税负。使良田税重,瘠田税轻;对无生产的田地,包括陂塘、道路、沟河、坟墓、荒地等都不征税;一县税收总额不能超过配赋的总额,以求税负的均衡。

  秦九韶特别关注由于种种原因出现的缺粮户,采取政府动员、劝说存粮大 户平价卖粮以赈济缺粮户。秦九韶制定粜粮措施:“欲劝粜赈济[39],主张官府动员存粮大户卖粮以赈济缺粮户,卖粮数额依其物力和田亩多少来确定,各个等级所卖粮食数额呈等差数列,这就是秦九韶设置的“欲劝粜赈”的数学问题 和计算方法,直接服务于国家与人民的例证。

  秦九韶在深入居者有其房的调查研究中发现,租住房屋的租金不合理。他 认为“斯城斯池,乃栋乃宇。宅生寄命,以保以聚。”座座城池,幢幢房屋,都是百姓生存托命的居所,居者有其屋,才能保存性命和聚居。秦九韶强调国家在营建城池时要精心设计,降低成本,使人有其房。对于无租住者,必须减租金。秦九韶还例举具体的减租计算方法:“房廊数内一户,日纳一百五十六文八分足为准,指挥(指按规定)未曾经减者减三分,已曾经减者减两分,已曾经减二分者更减两分[40]。”应该说,就是秦九韶为保证住房者的租金不要太高,为此给出了减租方案,相当于我国今天的廉租房租住方案。

  秦九韶主张施行仁政,但对那些官商勾结、豪强劣绅,囤积居奇,严惩不贷。

  嘉熙年间,秦九韶知和州军州事,发现和州不法商贾、豪强劣绅,官商勾 结,水陆贩鹾猖獗,不仅囤积居奇,欺行霸市,严重破坏了和州府监管的盐业 运销市场,还瞄准政府实行专卖的盐、铁、茶整体市场,激烈争夺长江黄金水 道出东大门之北的安徽和州的盐、铁、茶业运输销专营市场。秦九韶联合兵部 尚书、沿海沿江制置使、镇江知府吴潜,共同采取强硬手段整治了长江黄金水 道盐、铁、茶业运输销专营市场,惩治了贩鹾、铁、茶猖獗之徒,遏制了不法 商贾、豪强劣绅、官商勾结,囤积居奇,豪强欺行霸市,改善了盐、铁、茶专 营的局面,让食盐回位到百姓生活中必需品,不仅满足百姓的正常生活需求, 还保证了盐、铁、茶专营税收入库,财政的稳步增收[41]

  杭州市与宋末元初两大数学家秦九韶、朱世杰息息相关的“道古桥”,又 是秦九韶关心民生的历史佐证。

  杭州市杭大路、保俶路与西溪东路的交汇处有一座“道古桥”, 八十年代初,因杭州市西溪路扩建,西溪河需要改道,道古桥被夷。但因“道古桥”而命 名的 306、K306、303、K303道古桥公交站和再往西还有一条名曰“道古桥 路”的小街、“道古桥区居民委员会”依然存在。道古桥不仅蕴含深厚历史,更是曾作为杭州大学的地标建筑,影响了几代人。

  嘉熙二年(1238)六月,秦季槱在西溪河畔临时宅邸辞世[42],秦九韶辞和州守,回临安西溪河畔临时宅邸丁父忧[43]。他在西溪河畔守孝期间见到西溪河上没有桥,两岸人东去西来很不方便,萌生在西溪河上建造一座桥的想法,得到在朝廷担任秘书监的蜀人李心传[44]从秘书省府库中资助的银两,他自行设计、监督施工,在西溪河上建造一座桥梁,以河而命名“西溪桥[45]”,嘉熙之后的文字记叙也如是沿袭。元大德十年(1306 年)年间,元人朱世杰, 为纪念建桥人“道古”,将“西溪桥”而更名“道古桥”,并书镌桥头[46]

  朱世杰研究的数学成就主要体现在《算学启蒙》和《四元玉鉴》,其“四元术”求解法明显继承了秦九韶的高次方程数值解法(正负开方术)及李冶的 天元术[47],应该说朱世杰至少是推崇秦九韶的数学成就,尤其是“继承和发展 了秦九韶用以求高次方程正根的正负开方术”。正因为如此,元灭南宋统一中 国之后,朱世杰到了杭州,闻之秦九韶体察民情,关心民事,为方便西溪河两 岸市民往来,在西溪河上修建“西溪桥”,取其秦九韶的字“道古”,将“西 溪桥”更名为“道古桥”,并镌刻桥头,以示纪念他崇敬的数学大师。

  21 世纪初,杭州市为方便市民跨越西溪河,在距原道古桥桥旧址 80 米左 右改道的西溪河上复建了一桥,但对桥没命名。在社会各方呼吁下,2012 年 4 月,杭州市政府决定将新桥恢复“道古桥”桥名,由中科院院士、著名数学家王元先生题写“道古桥”桥名,并撰写碑文。杭州市政府并举行了恢复“道古桥”桥名暨揭碑仪式。中国科学院院士、浙江大学教授唐孝威、浙江大学教授林正炎、蔡天新和市政府负责人及新闻记者等参加了仪式[48]

  “道古桥”的故事,堪与英国数学家牛顿在剑河上造的数学桥故事媲美。相比之下,道古桥的故事不仅更为古老,且与两位中国古代大数学家有关。“道古桥”复名立碑一周年,《美国数学会会志》(5 月号)发表《“道古桥”与中世纪的两位伟大数学家》[49]一文,以示纪念中世纪数学泰斗秦九韶。

(原载于:中国数学会数学史分会 中国科学技术史学会数学史专业委员会主办《数学史通讯》“专业论文”第76~82页)

 

[1]、杨国选,四川安岳人,当过中学教师、做个媒体记者,担任过新闻、广播电视、宣传 等部门负责人。省级、中央级报刊、广播电视、《瞭望》、《中国科技史杂志》、《数学史通讯》等学术研究期刊采用其新闻、通讯、特写、评论、调查报告、报告文学、秦九韶研究论文等近千篇。有新闻论集、报告文学、《秦九韶生平考》等出版。   

[2]、白寿彝主编《中国通史》第七卷 中古时代·五代辽宋夏金时期(下册)·第六十一章秦九韶。1999年3月,上海人民出版社出版。 

[3]、郭书春《重新品评秦九韶》,《宋史研究论丛》,科学出版社 2009 年。 

[4]、杨国选《秦九韶生年及县尉考》,》中国科学技术学会、中科院自然科学研究所主办的《中国科技史杂志》2008 年第 29 卷 第四期371 页至 375 页。 

[5]、[清]光绪二十三年(1897)刻本,新修《潼川府志》卷二十人物,卷十五第五页:乾道五年(1169)三月丙子,赐礼部进土郑侨以下公谟、汝佾等三百九十有二人及第、出身。文渊阁钦定《四库全书》《四川通志》卷33—75A

[6]、[南宋]秦九韶:《数学九章·序》。钦定文渊阁《四库全书》本。台北商务印书馆影印文渊阁本,1986年。第797册,第323-613页。  

[7]、《两宋文学史》:“南宋后期四六名家首推李刘(李梅亭)”。1991年2月上海古籍出版社出版。

[8]、[南宋]周密:《癸辛杂识续集》卷下。钦定文渊阁《四库全书》第1040册,第88-89页。台北:商务印书馆,1986年。

[9]、《南宋馆阁续录》,第7卷。《四库全书》第595册,第505页。台北商务印书馆影印文渊阁本。

[10]、杨国选著《秦九韶生平考》,四川大学出版社,2017 年 10 月第一次印刷出版。

[11]、[元]脱脱等撰《宋史》本纪第四十一卷,理宗一,797 页。  

[12]、[南宋]李刘:《梅亭四六标准》卷三十六《回秦尉谢差校正九韶》文渊阁钦定《四库 全书》,第 1177 册,第 770—771 页。台北商务印书馆影印文渊阁本,1986 年。  

[13]、杨国选著《秦九韶生平考》,104~115页,四川大学出版社,2017 年 10 月第一次印刷出版。  

[14]、《景定建康志》官守志二,第24卷。文渊阁钦定《四库全书》第489册,第208页。  

[15]、[南宋]秦九韶:《数书九章》。清《宜稼堂丛书》本(1842 年)。  

[16]、[南宋]周密:《癸辛杂识续集》秦九韶,文渊阁钦定《四库全书》第1040册,第88—89页。  

[17]、[元]脱脱等撰:《宋史》卷四百五十,列传第二百九,忠义五,陈元桂。

[18]、[南宋]刘克庄:《缴秦九韶知临江军奏状》。《后村先生大全集·掖垣驳缴门》,第81卷。赐砚堂抄本,上海商务印书馆。  

[19]、[元] 脱脱等撰《宋史》卷四百七十四,列传第二百三十三 奸臣四  贾似道  13785页

[20]、[南宋]周密:《癸辛杂识续集》秦九韶,文渊阁钦定《四库全书》第1040册,第88—89页。 

[21]、[清]光绪十八年《嘉应州志》卷十八《官师表》卷十九《宦蹟·秦九韶》。

[22]、郭书春《重新品评秦九韶》,《宋史研究论丛》,科学出版社 2009 年。  

[23]、2013 年 7 月 17 日,习近平总书记视察中科院的座谈会上与中国科学院负责同志和科 技人员代表的讲话。

[24]、白寿彝主编《中国通史》第七卷 五代辽宋夏金时期(下册)·第六十一章秦九韶。 

[25]、吴文俊《世界著名数学家传记》上集秦九韶。科学出版社,2003 年 4 月出版。

[26]、著名数学史家、数学教育家。中国古代数学史和中国古代天文学史研究领域的开拓者钱宝琮《秦九韶〈数书九章〉研究》,科学出版社 1966 年。

[27]、著名数学史家、数学教育家。中国古代数学史和中国古代天文学史研究领域的开拓者钱宝琮《秦九韶〈数书九章〉研究》,科学出版社 1966 年。

[28]、吴文俊《世界著名数学家传记》上集《秦九韶》,科学出版社,2003 年 4 月出版。

[29]、[南宋]周密:《癸辛杂识续集》秦九韶,台湾版文渊阁钦定《四库全书》第 1040 册,第 88—89   

[30]、杨国选《秦九韶生平考》43页,“师承’骈四俪六’名家李刘”,四川大学出版社2017年10月。  

[31]、[美] G.Sarton.( 萨顿). Introduction to the History of Science. Vol.3,1947.Williams and Wilkins,Baltimore(Carnegie Institution Pub. No.376)。

[32]、数学史家郭书春《重新品评秦九韶》《宋史研究论丛》,2009 年科学出版社出版。  

[33]、《中国古代量雨器的史缘》《中国气象》1985 年第三期。中国气象出版社出版。

[34]、钱宝琮《秦九韶〈数书九章〉研究》钱宝琮等《宋元数学史论文集》,科学出版社, 1966 年

[35]、[南宋]秦九韶:《数书九章》。清《宜稼堂丛书》本(1842 年)。

[36]、《中国科学技术史·水利卷》,科学出版社,2002 年。王元恭《至正四明续志》卷四。

[37]、[清]雍正十一年(1733)《潼川民间传说集》抄本。

[38]、[南宋]秦九韶:《数书九章》。清《宜稼堂丛书》本(1842 年)。  

[39]、[南宋]秦九韶:《数书九章》新释第十卷“均定劝分”,第 385 页。1992 年 10 月, 安徽科学技术出版社。

[40]、[南宋]秦九韶:《数书九章》新释第十八卷“僦直推原”,第 599 页。1992 年 10 月,安徽科学技术出版社。

[41]、[清]乾隆二十三年戊寅(1758)《和州志》“盐榷”。  

[42]、[南宋]王迈《臞轩集》卷十一,戊戌己亥,王迈撰《祭秦公季槱先生文》,文渊阁钦 定《四库全书》,第 1178 册 599—601 页。

[43]、杨国选《秦九韶生平考》“辞官回临安丁父忧”,114 页。四川大学出版 社 2017 年 10 月出版。   

[44]、[元]脱脱等撰《宋史》列传第一百九十七·儒林八·李心传

[45]、[南宋] 潜说友撰《咸淳临安志》卷二十一。(《咸淳临安志》,一百卷,咸淳五年 (1269),潜说友在周淙撰《临安志》十五卷基础上,续撰后八十五卷。)  

[46]、[元]大德《临安志》卷一十五载:“‘道古桥’,本府试院东,西溪河之上。长 8.4米,宽 6.5 米,石拱桥。朱世杰纪念建桥人“道古”,将“西溪桥”更名“道古桥”并书镌桥 头。  

[47]、孔国平《朱世杰评传》第一章 279~282 页南京大学出版社 1994 年。

[48]、2012 年 4 月 28 日,浙江日报一版。

[49]、上海日报英文版文章《“道古桥”与中世纪的两位伟大数学家》记者徐文雯、余宁。 

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